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力扣300:最长递增子序列(Java动态规划+双指针)

一、题目描述

给你一个整数数组 nums ,找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

 
示例 1:

输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出:4
解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4 。


示例 2:

输入:nums = [0,1,0,3,2,3]
输出:4


示例 3:

输入:nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出:1
 

提示:

1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
 

进阶:

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

二、思路讲解

        用dp[i] 表示以i 结尾的序列中,最大递增子序列的长度。那么我们在每个i 处,往前找比自己小的数字(记为j 处),将该处的dp值+1,即是i处的dp值(说明i处的数字可以接在j 处后面组成递增子序列)。dp数组中的最大值即为所求。

三、Java代码实现

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {

        //数组长度
        int len = nums.length;
        //最后结果
        int res = 0;
        //dp[i]表示以i结尾的序列的最大递增子序列长度
        int []dp = new int[len];
        //给dp赋初值
        for(int i=0; i<len; i++) {
            dp[i] = 1;
        }

        for(int i=0; i<len; i++) {
            int big = 0;
            for(int j=0; j<i; j++) {
                if(nums[j]<nums[i]) {
                    big = Math.max(big, dp[j]);
                }
            }
            dp[i] = big + 1;
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

        时间复杂度:        O(N^2)

        空间复杂度:        O(N) 

四、算法优化

        进阶要求是要时间复杂度为nlogn。我们的算法的时间复杂度主要为:遍历nums数组,使用n,无法优化;线性遍历[0, i-1) 求dp[i],使用n。我们可以考虑重新设计dp的思路。

        设计一个tail数组,tail[i] 表示长度为i的递增序列的最小末尾数字。例如,4 5 1 9 8 5 序列中,长度为1的递增序列有4,5,1,9,8,5,所以tail[1]为1;长度为1的递增序列有4 5,4 9,4 8,

5 8, 5 9……所以tail[2] 为5;长度为3的递增序列有 4 5 9,4 5 8,所以tail[3] 为8。可以看出,tail为一个递增序列,在查找操作时,我们可以使用二分查找。

        那么,我们在计算tail[i]的时候,只需要遍历nums,找到第一个比num大的tail[k],说明num更适合放在tail[k-1]位置,而不能接在tail[k]位置(接上就不递增了)。如果num比tail中所有数字都大,那就说明num适合接在所有递增序列之后,这时递增序列的长度又可以增加了。

        参考:力扣300. 最长递增子序列(动态规划 + 二分查找,清晰图解)

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {

        //数组长度
        int len = nums.length;
        //tail[i]表示,长度为i的递增序列的最小末尾数字
        int []tail = new int[len];

        //题目所求 递增序列的最大长度
        int resLen = 0;
        for(int i=0; i<len; i++) {
            int left = 0;
            int right = resLen;
            //二分查找 找到比nums[i]大的tail,若找不到,说明nums[i]适合放在所有序列的末尾,那么就向后更新一个长度
            while(left < right) {
                int mid = (left+right) / 2;
                if(tail[mid]<nums[i]) {
                    left = mid+1;
                } else {
                    right = mid;
                }
            }
            tail[left] = nums[i];
            //更新长度
            resLen = resLen==right? (resLen+1) : resLen;
        }
        return resLen;
    }
}

        时间复杂度:        O(NlogN)

        空间复杂度:        O(N)

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