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现代信号处理——高阶统计分析(矩与累积量)

我们常见的使用信号处理方法均以二阶统计量(时域为相关函数、频域为功率谱)作为数学分析工具。相关函数和功率谱存在一些缺点,例如它们具有等价性或多重性,不能辨识非最小相位系统;又如,它们对加性噪声敏感,一般只能处理加性白噪声的观测数据。为了克服这些缺点,必须使用三阶或更高阶数的统计量,它们统称高阶统计量。基于高阶统计量的信号分析称为信号的高阶统计分析,也称非高斯信号处理。二阶统计分析只能提取信号的主要信息即概貌,而高阶统计分析则能够提供信号的细节信息。因此,高阶统计量是信号处理不可或缺的一种数学工具。早在20世纪60年代,高阶统计量就已被数学家们所研究,但由于当时没有找到适当的应用对象,这一研究并没有获得比较大的发展。只是到了20世纪80年代后期,信号处理的专家们才点燃了这一研究的燎原之火,并迅速发展成为现代信号处理的一个重要分支。

最常用的高阶统计量是高阶累积量及高阶谱。

一、高阶矩与高阶累积量的定义

考查一连续的随机变量x。若它的概率密度函数为f(x),而g(x)是一任意函数,则g(x)的数学期望定义为

特别地,当 g(x)=e^{jwx} 时,代入上式中,可得第一特征函数(矩生成函数)为:

换言之,第一特征函数是概率密度函数f(x)的Fourier逆变换。由于概率密度函数f(x)≥0,所以第一特征函数\Phi (w)在原点有最大值,即

 求第一特征函数的k阶导数,得

 

随机变量x的k阶(原点)矩m_{k}中心矩\mu _{k}分别定义为 

式中,\eta=E{x}代表随机变量x的一阶矩即均值。对于零均值的随机变量x,其k阶原点矩m_{k}和中心矩\mu _{k}等价。在下面的讨论中,均令随机变量和随机信号的均值为零。

在式(6.1.4)中令w=0,可求出x的k阶矩为

 

 由于随机变量x的k阶矩E\left \{ x^{k} \right \}可以由第一特征函数生成,故常将第一特征函数\Phi (w)称为矩生成函数

第一特征函数的自然对数称为第二特征函数(累积量生成函数),记作

 与k阶矩的定义式(6.1.7)相类似,也可以定义随机变量x的k阶累积量为

 

鉴于此,第二特征函数又称累积量生成函数。

关于单个随机变量x的上述讨论很容易推广到多个随机变量。令x1,…,xk是k个连续随机变量,它们的联合概率密度函数为f(x1,…,xk),则这k个随机变量的第一联合特征函数定义为 

 

上式只是高阶累积量的一种形式上的定义,并没有给出累积量的具体表达式。事实上,累积量完全可以用矩来表示。

特别地,高阶统计分析中最常用的是k=3的三阶累积量和k=4的四阶累积量。 

参考教材:

现代信号处理(第三版)张贤达(编著)

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